E[X + Y] = E[X] + E[Y] の読み方
| E[ · ] | かっこ内の量の「期待値」。 |
| X, Y | 2つの確率変数。たとえばサイコロ1とサイコロ2。 |
| X + Y | 新しい確率変数：毎回の2つの合計。 |
なぜ常に成り立つのか。平均とは「全部足してから割る」ことで、足す順番は関係ありません。サイコロ2個を600回振ったとき、すべての和の総計は、サイコロ1の列の合計とサイコロ2の列の合計を足したものに等しくなります。依存関係が変えるのは同じ行にどの値が並ぶかであって、各列の合計ではありません。
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y) の読み方
| Cov(X, Y) | 共分散：XとYが一緒に大きくなりやすい（正）か、逆に動く（負）か、無関係（ゼロ）か。(X − μₓ)(Y − μᵧ) の平均です。 |
| 独立 | 一方を知っても他方について何も分からない状態。このとき Cov = 0 で、分散はそのまま足せます。 |
| 設定 | 関係 | 分散 | σ |
|---|
| 別々のサイコロ2個、X + Y | 独立、Cov = 0 | 2.92 + 2.92 = 5.83 | 2.42 |
| 同じサイコロを2回数える、X + X | 完全に同じ向き | 4 × 2.92 = 11.67 | 3.42 |
| X + (7 − X) | 完全に逆向き | 0 | 0 |
最後の行はヘッジです。誤差がちょうど打ち消し合う2つのリスクのあるポジション。3つの設定はいずれも期待値7で、違うのはばらつきだけです。
√n はどこから来るのか
分散σ₁²を持つ独立なコピーをn個足します。分散を足すと n·σ₁² なので σ = √(n·σ₁²) = σ₁·√n。サイコロ10個なら 1.71 × √10 ≈ 5.40 で、期待値は35です。金融ではこれが分散投資が効く理由です。完全には相関しない多くの資産を持つと、期待リターンはリスクより速く増えます。