理解 E[X + Y] = E[X] + E[Y]
| E[ · ] | 括号里的东西的“期望值”。 |
| X, Y | 两个随机量，比如第 1 颗和第 2 颗骰子。 |
| X + Y | 一个新的随机量：每次掷骰的两者之和。 |
为什么它总是成立。平均数就是“全部加起来再除”，加的顺序无关紧要。掷两颗骰子 600 次，所有和的总数等于第 1 颗那一列的总数加第 2 颗那一列的总数。依赖关系改变的是哪些值出现在同一行，而不是每一列加起来是多少。
理解 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y)
| Cov(X, Y) | 协方差：X 和 Y 是倾向于同时偏高（正），朝相反方向变动（负），还是互不相干（零）？它是 (X − μₓ)(Y − μᵧ) 的平均值。 |
| 独立 | 知道一个对另一个毫无信息。此时 Cov = 0，方差直接相加。 |
| 设定 | 关系 | 方差 | σ |
|---|
| 两颗不同的骰子，X + Y | 独立，Cov = 0 | 2.92 + 2.92 = 5.83 | 2.42 |
| 同一颗骰子算两次，X + X | 完全同向 | 4 × 2.92 = 11.67 | 3.42 |
| X + (7 − X) | 完全反向 | 0 | 0 |
最后一行是对冲：两个有风险的头寸，误差恰好抵消。三种设定的期望值都是 7，只有离散度不同。
√n 从哪里来
把 n 个独立的复制品相加，每个方差为 σ₁²。方差相加得 n·σ₁²，所以 σ = √(n·σ₁²) = σ₁·√n。十颗骰子：1.71 × √10 ≈ 5.40，而期望值是 35。在金融里，这就是分散投资有效的原因：持有许多并非完全相关的资产，预期收益的增长快于风险的增长。