理解 EV = Σ pᵢ · xᵢ
| X | 随机量：在事件发生前你不知道的数字，比如掷骰子的点数。 |
| i | 每个可能结果的编号，依次为 1、2、3……对一颗骰子，i 从 1 到 6。 |
| xᵢ | 结果 i 的收益。对一颗骰子，x₁ = 1，x₂ = 2 … x₆ = 6。 |
| pᵢ | 结果 i 的概率，介于 0 和 1 之间。所有 pᵢ 加起来恰好等于 1。 |
| pᵢ · xᵢ | 这一个结果对平均值的贡献。 |
| Σ | 希腊大写字母 sigma，意思是“对每个 i 求和”：对每个结果做同样的事，再把结果加起来。 |
| EV、E[X]、μ | 同一个答案的三个名字。在其他公式里使用时，通常写成 μ（mu）。 |
为什么要乘以 p？想象掷一颗骰子 600 次。每个点数大约出现 100 次，所以总和约为 100·1 + 100·2 + … + 100·6 = 2,100，平均值是 2,100 ÷ 600 = 3.5。把每个次数除以 600，次数就变成概率：(1/6)·1 + (1/6)·2 + … + (1/6)·6。期望值就是普通的平均数，每个结果按其出现频率计权。
理解 Var(X) = Σ pᵢ · (xᵢ − μ)²
| μ | 上面的期望值：所有结果的中心。 |
| xᵢ − μ | 偏差：结果 i 离中心有多远。负数表示低于中心。 |
| ( … )² | 偏差的平方。平方让每个距离都变成正数，而且大偏差比小偏差受的惩罚重得多（偏 3 记 9，偏 1 记 1）。 |
| pᵢ · ( … )² | 每个偏差的平方，按其出现频率加权。 |
| Σ | 全部相加。方差就是离中心距离平方的平均值。 |
| σ = √Var | 标准差（小写 sigma）。开平方抵消了平方，所以结果回到收益本身的单位（点数、美元），可以和期望值直接比较。 |
为什么要平方，而不是直接平均偏差？因为普通的平均偏差永远恰好为零。中心本来就是平衡点，上下的偏差会互相抵消。下面的表证明了这一点：p·(x − μ) 这一列的和总是 0。你也可以用绝对距离 |x − μ|，但平方有一个让后面一切成立的性质：独立量的方差可以相加。√n 法则就是从这里来的。
为什么捷径 E[X²] − μ² 成立。E[X²] 指“收益平方的平均值”，即 Σ pᵢxᵢ²。展开 (x − μ)² = x² − 2μx + μ²，再逐项取平均：E[X²] − 2μ·E[X] + μ² = E[X²] − 2μ² + μ² = E[X²] − μ²。一颗骰子：91/6 − 3.5² = 15.17 − 12.25 = 2.92。