| f* | 現在の資金のうち賭ける割合。星印は最適値であることを示します。 |
| p | 賭けに勝つ確率。 |
| q = 1 − p | 負ける確率。 |
| b | ネットオッズ：勝ったときの1賭けあたりの利益。1対1なら b = 1。小数オッズdからは b = d − 1。 |
| b·p − q | 1賭けあたりの期待値：確率pでbを得て、確率qで1を失う。これがあなたのエッジです。 |
| ÷ b | 振れ幅の大きい大穴の賭けでは縮小します。だから結果はエッジをオッズで割ったものになります。 |
なぜ単純に期待値を最大化しないのか？
期待値の最大化は、プラス期待値の賭けすべてに全額を賭けろと言い、最初の負けで資金はゼロになります。資産は足し算ではなく掛け算で複利的に増えます。+50%の後に−50%だと、1.5 × 0.5 = 0.75 になってしまいます。そこでケリーは平均成長率、つまり各賭けの資産倍率の対数の期待値を最大化します：
g(f) = p · ln(1 + f·b) + q · ln(1 − f)
ここで ln(1 + f·b) は勝ったときの資産倍率の対数、ln(1 − f) は負けたときの倍率の対数です。gの傾きをゼロと置くと p·b ÷ (1 + f·b) = q ÷ (1 − f)、fについて解くと f* = (b·p − q) ÷ b。
例：p = 0.55、b = 1 → f* = 0.10。1回あたりの成長 = 0.55 · ln 1.1 + 0.45 · ln 0.9 = 0.0524 − 0.0474 = 0.0050。1回あたり約0.5%が複利で効いてきます。