Cómo leer E[X + Y] = E[X] + E[Y]
| E[ · ] | «El valor esperado de» lo que haya dentro de los corchetes. |
| X, Y | Dos cantidades aleatorias, como el dado 1 y el dado 2. |
| X + Y | Una nueva cantidad aleatoria: su total en cada tirada. |
Por qué se cumple siempre. Una media es «sumarlo todo y dividir», y el orden en que sumas no importa. En 600 tiradas de dos dados, el total de todas las sumas es igual al total de la columna del dado 1 más el total de la columna del dado 2. La dependencia cambia qué valores aparecen juntos en la misma fila, pero no cuánto suma cada columna.
Cómo leer Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y)
| Cov(X, Y) | Covarianza: ¿X e Y tienden a ser altas a la vez (positiva), a moverse en sentidos opuestos (negativa) o a ignorarse (cero)? Es la media de (X − μₓ)(Y − μᵧ). |
| independientes | Conocer una no dice nada de la otra. Entonces Cov = 0 y las varianzas simplemente se suman. |
| Caso | Relación | Varianza | σ |
|---|
| Dos dados distintos, X + Y | Independientes, Cov = 0 | 2.92 + 2.92 = 5.83 | 2.42 |
| Un dado contado dos veces, X + X | Totalmente juntos | 4 × 2.92 = 11.67 | 3.42 |
| X + (7 − X) | Totalmente opuestos | 0 | 0 |
La última fila es una cobertura: dos posiciones con riesgo cuyos errores se cancelan exactamente. Los tres casos tienen VE 7; solo cambia la dispersión.
De dónde sale √n
Suma n copias independientes, cada una con varianza σ₁². Las varianzas suman n·σ₁², así que σ = √(n·σ₁²) = σ₁·√n. Diez dados: 1,71 × √10 ≈ 5,40, frente a un VE de 35. En finanzas, por eso funciona la diversificación: tener muchos activos que no están perfectamente correlacionados hace crecer el rendimiento esperado más rápido que el riesgo.