Cómo leer VE = Σ pᵢ · xᵢ
| X | La cantidad aleatoria: un número que no conocerás hasta que ocurra el evento, como la tirada de un dado. |
| i | Una etiqueta para cada resultado posible: 1, 2, 3… En un dado, i va de 1 a 6. |
| xᵢ | El pago del resultado i. En un dado, x₁ = 1, x₂ = 2 … x₆ = 6. |
| pᵢ | La probabilidad del resultado i, entre 0 y 1. Todas las pᵢ juntas suman exactamente 1. |
| pᵢ · xᵢ | La aportación de ese resultado a la media. |
| Σ | Sigma mayúscula griega, que significa «sumar para cada i»: haz lo mismo con cada resultado y suma. |
| VE, E[X], μ | Tres nombres para la misma respuesta. μ (mu) es el símbolo habitual al usarlo dentro de otras fórmulas. |
¿Por qué multiplicar por p? Imagina tirar un dado 600 veces. Sale cada cara unas 100 veces, así que el total es aproximadamente 100·1 + 100·2 + … + 100·6 = 2.100, y la media es 2.100 ÷ 600 = 3,5. Divide cada recuento entre 600 y los recuentos se convierten en probabilidades: (1/6)·1 + (1/6)·2 + … + (1/6)·6. El VE es una media corriente en la que cada resultado cuenta según la frecuencia con que ocurre.
Cómo leer Var(X) = Σ pᵢ · (xᵢ − μ)²
| μ | El VE de arriba: el centro de los resultados. |
| xᵢ − μ | La desviación: a qué distancia del centro cae el resultado i. Negativa significa por debajo del centro. |
| ( … )² | La desviación al cuadrado. Elevar al cuadrado hace positiva cada distancia y castiga mucho más los fallos grandes que los pequeños (un fallo de 3 cuenta 9; uno de 1 cuenta 1). |
| pᵢ · ( … )² | Cada fallo al cuadrado, ponderado por su frecuencia. |
| Σ | Súmalos. La varianza es la distancia media al cuadrado respecto al centro. |
| σ = √Var | Desviación típica (sigma minúscula). La raíz cuadrada deshace el cuadrado, así que el resultado vuelve a las unidades del pago (puntos, dólares) y puedes compararlo con el VE. |
¿Por qué elevar al cuadrado en vez de promediar las desviaciones? Porque la desviación media simple es siempre exactamente cero. El centro se define como el punto de equilibrio, así que los fallos por arriba y por abajo se cancelan. La tabla de abajo lo demuestra: la columna p·(x − μ) siempre suma 0. Podrías usar la distancia absoluta |x − μ|, pero los cuadrados tienen una propiedad que hace que todo lo demás funcione: las varianzas de cantidades independientes se suman. De ahí sale la regla de √n.
Por qué funciona el atajo E[X²] − μ². E[X²] significa «la media de los pagos al cuadrado», Σ pᵢxᵢ². Desarrolla (x − μ)² = x² − 2μx + μ² y promedia cada término: E[X²] − 2μ·E[X] + μ² = E[X²] − 2μ² + μ² = E[X²] − μ². Para un dado: 91/6 − 3,5² = 15,17 − 12,25 = 2,92.