| f* | La fracción de tu bankroll actual que apuestas. La estrella indica que es el valor óptimo. |
| p | Probabilidad de ganar la apuesta. |
| q = 1 − p | Probabilidad de perder. |
| b | Cuota neta: beneficio por cada 1 apostado si ganas. A la par es b = 1. A partir de una cuota decimal d, b = d − 1. |
| b·p − q | VE por cada 1 apostado: ganas b con probabilidad p y pierdes 1 con probabilidad q. Esta es tu ventaja. |
| ÷ b | Reduce el tamaño en los pagos improbables, que oscilan más. Por eso el resultado es la ventaja dividida por la cuota. |
¿Por qué no maximizar simplemente el VE?
Maximizar el VE te dice que lo apuestes todo en cada apuesta +VE, y la primera derrota te deja a cero. La riqueza se compone multiplicando, no sumando: +50 % seguido de −50 % te deja en 1,5 × 0,5 = 0,75 de lo que tenías. Por eso Kelly maximiza la tasa de crecimiento media, que es el logaritmo esperado del multiplicador de cada apuesta:
g(f) = p · ln(1 + f·b) + q · ln(1 − f)
Aquí ln(1 + f·b) es el logaritmo del multiplicador de tu riqueza si ganas, y ln(1 − f) el del multiplicador si pierdes. Iguala a cero la pendiente de g, p·b ÷ (1 + f·b) = q ÷ (1 − f), y al despejar f obtienes f* = (b·p − q) ÷ b.
Ejemplo: p = 0,55, b = 1 → f* = 0,10. Crecimiento por apuesta = 0,55 · ln 1,1 + 0,45 · ln 0,9 = 0,0524 − 0,0474 = 0,0050, alrededor de un 0,5 % por apuesta, compuesto.